Bihar Board Class 10th Maths Chapter 8.3 Solution
Q.1. निम्नलिखित का मान निकालिए।
(i) \(\frac{\sin 18^\circ}{\cos 72^\circ}\)
हम जानते हैं कि \(\sin 18^\circ = \cos 72^\circ\), इसलिए:
\[ \frac{\sin 18^\circ}{\cos 72^\circ} = 1 \]
(ii) \(\frac{\tan 26^\circ}{\cot 64^\circ}\)
हम जानते हैं कि \(\cot 64^\circ = \frac{1}{\tan 64^\circ}\), इसलिए:
\[ \frac{\tan 26^\circ}{\cot 64^\circ} = \tan 26^\circ \times \tan 64^\circ = 1 \]
(iii) \(\cos 48^\circ - \sin 42^\circ\)
हम जानते हैं कि \(\cos 48^\circ = \sin 42^\circ\), इसलिए:
\[ \cos 48^\circ - \sin 42^\circ = 0 \]
(iv) \(\csc 31^\circ - \sec 59^\circ\)
हम जानते हैं कि \(\csc 31^\circ = \sec 59^\circ\), इसलिए:
\[ \csc 31^\circ - \sec 59^\circ = 0 \]
Q.2. दिखाइए कि -
(i) \(\tan 48^\circ \tan 23^\circ \tan 42^\circ \tan 67^\circ = 1\)
हम जानते हैं कि:
\[ \tan(90^\circ - x) = \cot(x) \] तो: \[ \tan 67^\circ = \cot 23^\circ \quad \text{(क्योंकि } 67^\circ + 23^\circ = 90^\circ\text{)} \] अब: \[ \tan 48^\circ \times \tan 23^\circ \times \tan 42^\circ \times \tan 67^\circ = \tan 48^\circ \times \tan 23^\circ \times \tan 42^\circ \times \cot 23^\circ \] और \(\tan 23^\circ \times \cot 23^\circ = 1\), तो: \[ \tan 48^\circ \times \tan 42^\circ = 1 \] इसलिए: \[ \tan 48^\circ \tan 23^\circ \tan 42^\circ \tan 67^\circ = 1 \]
(ii) \(\cos 38^\circ \cos 52^\circ - \sin 38^\circ \sin 52^\circ = 0\)
यह एक ट्रिगोनोमेट्रिक पहचान है: \[ \cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos(A + B) \] जहाँ \(A = 38^\circ\) और \(B = 52^\circ\), तो: \[ \cos 38^\circ \cos 52^\circ - \sin 38^\circ \sin 52^\circ = \cos(38^\circ + 52^\circ) = \cos 90^\circ \] और \(\cos 90^\circ = 0\), इसलिए: \[ \cos 38^\circ \cos 52^\circ - \sin 38^\circ \sin 52^\circ = 0 \]
Q.3. यदि tan2A=cot(A-18°) जहाँ 2A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात करें।
\[ \tan(2A) = \cot(A - 18^\circ) \]
हम जानते हैं कि \(\cot \theta = \cot(90^\circ - \theta)\), तो:
\[ \cot(90^\circ - 2A) = \cot(A - 18^\circ) \]
चूंकि \(\cot \theta = \cot \theta\), हम कोणों को समान मान सकते हैं:
\[ 90^\circ - 2A = A - 18^\circ \]
अब, \(A\) को हल करें:
\[ 90^\circ - 2A = A - 18^\circ \]
\[ 90^\circ + 18^\circ = 2A + A \] \[ 108^\circ = 3A \] \[ A = \frac{108^\circ}{3} = 36^\circ \]इसलिए, समाधान है \(A = 36^\circ\)।
Q.4. यदि tanA=cotB तो सिद्ध करें कि A+B=90°
हम इसे \(\cot B\) को \(\tan(90^\circ - B)\) के रूप में लिख सकते हैं:
\[ \tan A = \cot B = \tan(90^\circ - B) \]
अब, जब \(\tan \theta = \tan \phi\) होता है, तो \(\theta = \phi\) होता है (जब दोनों कोण एक ही कोटि में होते हैं)। तो:
\[ A = 90^\circ - B \]
अतः:
\[ A + B = 90^\circ \]
इस प्रकार, \(A + B = 90^\circ\) ;Proved
Q.5. यदि sec4A=cosec(A-20°) जहाँ 4A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात करें?
हम \(\sec \theta = \csc(90^\circ - \theta)\) का उपयोग करते हुए:
\[ \csc(90^\circ - 4A) = \csc(A - 20^\circ) \]
\[ 90^\circ - 4A = A - 20^\circ \]
\[ 90^\circ + 20^\circ = 4A + A \] \[ 110^\circ = 5A \] \[ A = \frac{110^\circ}{5} = 22^\circ \]अतः, \(A = 22^\circ\) है।
Q.6. यदि A,B और C त्रिभुज ABC के अंतः कोण हो तो दिखाइए कि - $$\sin\left(\frac{B+C}{2}\right) = \cos\left(\frac{A}{2}\right)$$
त्रिभुज के तीनो कोणो का योग = 180° $$ A + B + C = 180^\circ $$ $$ B + C = 180^\circ - A $$ अब, $$ \sin\left(\frac{B+C}{2}\right) = \sin\left(\frac{180^\circ - A}{2}\right) = \sin\left(90^\circ - \frac{A}{2}\right) $$ और, $$ \sin\left(90^\circ - x\right) = \cos(x) $$ तो, $$ \sin\left(90^\circ - \frac{A}{2}\right) = \cos\left(\frac{A}{2}\right) $$ इसलिए, $$ \sin\left(\frac{B+C}{2}\right) = \cos\left(\frac{A}{2}\right) $$;Proved
Q.7. sin67°+cos75° को 0° और 45° के बीच के कोणो के त्रिकोणमितीय अनुपातो के पदो में व्यक्त कीजिए।
\( \sin 67^\circ + \cos 75^\circ \)
त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हुए:
\( \sin 67^\circ = \sin(90^\circ - 23^\circ) = \cos 23^\circ \)
\( \cos 75^\circ = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ \)
अतः, \( \sin 67^\circ + \cos 75^\circ = \cos 23^\circ + \sin 15^\circ \)
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