Bihar Board Class 10th Maths Chapter 8.3 Solution

Q.1. निम्नलिखित का मान निकालिए।

(i) $\frac{\sin 18^\circ}{\cos 72^\circ}$

हम जानते हैं कि $\sin 18^\circ = \cos 72^\circ$, इसलिए:

$$\frac{\sin 18^\circ}{\cos 72^\circ} = 1$$

(ii) $\frac{\tan 26^\circ}{\cot 64^\circ}$

हम जानते हैं कि $\cot 64^\circ = \frac{1}{\tan 64^\circ}$, इसलिए:

$$\frac{\tan 26^\circ}{\cot 64^\circ} = \tan 26^\circ \times \tan 64^\circ = 1$$

(iii) $\cos 48^\circ - \sin 42^\circ$

हम जानते हैं कि $\cos 48^\circ = \sin 42^\circ$, इसलिए:

$$\cos 48^\circ - \sin 42^\circ = 0$$

(iv) $\csc 31^\circ - \sec 59^\circ$

हम जानते हैं कि $\csc 31^\circ = \sec 59^\circ$, इसलिए:

$$\csc 31^\circ - \sec 59^\circ = 0$$

Q.2. दिखाइए कि -

(i) $\tan 48^\circ \tan 23^\circ \tan 42^\circ \tan 67^\circ = 1$

हम जानते हैं कि:

$$\tan(90^\circ - x) = \cot(x)$$ तो: $$\tan 67^\circ = \cot 23^\circ \quad \text{(क्योंकि } 67^\circ + 23^\circ = 90^\circ\text{)}$$ अब: $$\tan 48^\circ \times \tan 23^\circ \times \tan 42^\circ \times \tan 67^\circ = \tan 48^\circ \times \tan 23^\circ \times \tan 42^\circ \times \cot 23^\circ$$ और $\tan 23^\circ \times \cot 23^\circ = 1$, तो: $$\tan 48^\circ \times \tan 42^\circ = 1$$ इसलिए: $$\tan 48^\circ \tan 23^\circ \tan 42^\circ \tan 67^\circ = 1$$

(ii) $\cos 38^\circ \cos 52^\circ - \sin 38^\circ \sin 52^\circ = 0$

यह एक ट्रिगोनोमेट्रिक पहचान है: $$\cos A \cos B - \sin A \sin B = \cos(A + B)$$ जहाँ $A = 38^\circ$ और $B = 52^\circ$, तो: $$\cos 38^\circ \cos 52^\circ - \sin 38^\circ \sin 52^\circ = \cos(38^\circ + 52^\circ) = \cos 90^\circ$$ और $\cos 90^\circ = 0$, इसलिए: $$\cos 38^\circ \cos 52^\circ - \sin 38^\circ \sin 52^\circ = 0$$

Q.3. यदि tan2A=cot(A-18°) जहाँ 2A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात करें।

$$\tan(2A) = \cot(A - 18^\circ)$$

हम जानते हैं कि $\cot \theta = \cot(90^\circ - \theta)$, तो:

$$\cot(90^\circ - 2A) = \cot(A - 18^\circ)$$

चूंकि $\cot \theta = \cot \theta$, हम कोणों को समान मान सकते हैं:

$$90^\circ - 2A = A - 18^\circ$$

अब, $A$ को हल करें:

$$90^\circ - 2A = A - 18^\circ$$

$$90^\circ + 18^\circ = 2A + A$$ $$108^\circ = 3A$$ $$A = \frac{108^\circ}{3} = 36^\circ$$

इसलिए, समाधान है $A = 36^\circ$।

Q.4. यदि tanA=cotB तो सिद्ध करें कि A+B=90°

हम इसे $\cot B$ को $\tan(90^\circ - B)$ के रूप में लिख सकते हैं:

$$\tan A = \cot B = \tan(90^\circ - B)$$

अब, जब $\tan \theta = \tan \phi$ होता है, तो $\theta = \phi$ होता है (जब दोनों कोण एक ही कोटि में होते हैं)। तो:

$$A = 90^\circ - B$$

अतः:

$$A + B = 90^\circ$$

इस प्रकार, $A + B = 90^\circ$ ;Proved

Q.5. यदि sec4A=cosec(A-20°) जहाँ 4A एक न्यूनकोण है तो A का मान ज्ञात करें?

हम $\sec \theta = \csc(90^\circ - \theta)$ का उपयोग करते हुए:

$$\csc(90^\circ - 4A) = \csc(A - 20^\circ)$$

$$90^\circ - 4A = A - 20^\circ$$

$$90^\circ + 20^\circ = 4A + A$$ $$110^\circ = 5A$$ $$A = \frac{110^\circ}{5} = 22^\circ$$

अतः, $A = 22^\circ$ है।

Q.6. यदि A,B और C त्रिभुज ABC के अंतः कोण हो तो दिखाइए कि - $$\sin\left(\frac{B+C}{2}\right) = \cos\left(\frac{A}{2}\right)$$

त्रिभुज के तीनो कोणो का योग = 180° $$A + B + C = 180^\circ$$ $$B + C = 180^\circ - A$$ अब, $$\sin\left(\frac{B+C}{2}\right) = \sin\left(\frac{180^\circ - A}{2}\right) = \sin\left(90^\circ - \frac{A}{2}\right)$$ और, $$\sin\left(90^\circ - x\right) = \cos(x)$$ तो, $$\sin\left(90^\circ - \frac{A}{2}\right) = \cos\left(\frac{A}{2}\right)$$ इसलिए, $$\sin\left(\frac{B+C}{2}\right) = \cos\left(\frac{A}{2}\right)$$ ;Proved

Q.7. sin67°+cos75° को 0° और 45° के बीच के कोणो के त्रिकोणमितीय अनुपातो के पदो में व्यक्त कीजिए।

$\sin 67^\circ + \cos 75^\circ$

त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हुए:

$\sin 67^\circ = \sin(90^\circ - 23^\circ) = \cos 23^\circ$

$\cos 75^\circ = \cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ$

अतः, $\sin 67^\circ + \cos 75^\circ = \cos 23^\circ + \sin 15^\circ$

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